Ottima doppista, in carriera ha vinto ventiquattro titoli WTA, tra cui quattro prove del Grande Slam, tutti vinti in coppia con la francese Kristina Mladenovic: Australian Open 2018 e 2020, Open di Francia 2019 e 2020, insieme ad un titolo WTA 125s. Si è aggiudicata anche tre WTA Finals consecutivamente. Inoltre, in tale disciplina raggiunge la vetta del ranking mondiale per la prima volta il 16 luglio 2018. Nel doppio misto, invece, ha raggiunto la finale a Wimbledon 2015 e agli Australian Open 2018.
In singolare si è aggiudicata quattro titoli WTA, vinti tra il 2012 e il 2018, e 15 titoli ITF. Per quanto riguarda la classifica, entra nella top 30 il 19 settembre 2016, issandosi al 25º posto, suo best ranking. Il suo miglior risultato Slam è il terzo turno raggiunto agli US Open 2016.
I suoi genitori si chiamano Csaba e Zsuzsanna; ha una sorella di nome Susie. Ha impugnato per la prima volta una racchetta all'età di 8 anni[1], sviluppando nel tempo un gioco aggressivo, efficace soprattutto sul cemento.
Esordisce nel circuito ITF nel 2009, all'età di 16 anni e subito raggiunge la finale del torneo ITF di Bournemouth; nel doppio vince il torneo con Stephanie Cornish, in seguito al forfait dell'altra coppia finalista. Al successivo torneo ITF di Edimburgo vince il primo titolo ITF in singolare, sconfiggendo in finale Naomi Broady, mentre in doppio si ferma in semifinale. Al torneo ITF di Felixstowe perde la finale in singolare contro Anna Smith, mentre in doppio raggiunge la semifinale. Ad inizio novembre vince il secondo titolo in singolare al torneo ITF di Sunderland battendo Matea Mezak. In seguito al successivo torneo di Jersey perde la finale sia in singolare che in doppio.
L'anno inizia con la finale persa in doppio al torneo ITF di Burnie con Anna Arina Marenko. A maggio partecipa ancora al torneo ITF di Edimburgo, dove vince il titolo ITF in singolare, mentre in doppio si ferma in finale. Al torneo ITF di Budapest perde in finale contro Mathilde Johansson. A luglio debutta in un torneo WTA a Budapest, perdendo al primo turno contro Timea Bacsinszky. In seguito al torneo ITF di Woking vince il titolo in singolare e anche in doppio con Emma Laine; mentre al torneo ITF di Kalgoorlie perde la finale di doppio con Monika Wejnert. A metà novembre vince il terzo titolo ITF in doppio a Wellington in coppia con Tammi Patterson. Con Melanie South vince il titolo in doppio anche al torneo ITF di Traralgon. Chiude l'anno con la vittoria in singolare e in doppio al torneo ITF di Bendigo.
Dopo le gare di Fed Cup, incomincia l'anno tentando la qualificazione al torneo WTA di Monterrey. In seguito a metà marzo torna a vincere in doppio, al torneo ITF di Irapuato con Johanna Konta. Ottiene il medesimo risultato anche al successivo torneo ITF di Indian Harbour Beach. Vince poi il sesto titolo ITF in singolare ad Astana, battendo in finale Tadeja Majeric. A Kristinehamn perde in semifinale in singolare, mentre in doppio viene battuta in finale in coppia con Ksenia Lykina. Torna invece a vincere in singolare al torneo ITF di Stoccarda. Partecipa nuovamente al torneo WTA di Budapest, raggiungendo il secondo turno in singolare. A La Coruna perde in semifinale in singolare, mentre vince il titolo ITF in doppio con Victoria Larriere. A fine agosto non si qualifica agli US Open e poi perde la finale di doppio a Mestre con Magda Linette. Raggiunge poi la semifinale in doppio al torneo di Troy e a quello di Rock Hill. Al torneo ITF di Saguenay vince il titolo ITF in singolare e perde la finale nel doppio. A Bratislava si è fermato in semifinale. Chiude l'anno vincendo il torneo ITF di Helsinki in singolare, mentre in doppio perde la finale con Irina Buryachok.
L'anno inizia con il torneo ITF di Quanzhou, dove raggiunge la finale, perdendo poi contro Kimiko Date-Krumm. Partecipa alle qualificazioni degli Australian Open ma perde al secondo turno. Dopo gli incontri di Fed Cup, a febbraio si mette in mostra arrivando fino alla semifinale del torneo di Bogotá. Nei primi turni elimina la wild-card locale Yuliana Lizarazo, la testa di serie numero 3 Romina Oprandi e la kazaka Jaroslava Švedova prima di essere battuta in semifinale dalla russa Aleksandra Panova; anche in doppio, con Valeria Savinykh, si ferma in semifinale. La settimana successiva vince il torneo di Monterrey battendo in finale Alexandra Cadanțu con il punteggio di 6-4, 6-4. Il mese di marzo comincia con una semifinale al torneo ITF di Irapuato; poi partecipa al torneo WTA di Copenaghen, dove perde al secondo turno. Alla fine di aprile, raggiunge la semifinale in doppio, con Mandy Minella, al torneo WTA di Fes, mentre a Budapest non supera il primo turno. Al torneo di Strasburgo raggiunge un'altra semifinale in doppio con Hsieh Su-Wei, mentre al Roland Garros si ferma al primo turno in singolare e al secondo turno in doppio con Hsieh Su-Wei. Vince il suo primo titolo WTA nel doppio a Birmingham, sempre con Hsieh Su-Wei. Dopo un primo turno ad Eastbourne, al torneo di Wimbledon, ottiene il secondo turno in singolare e il primo turno in doppio. Alle Olimpiadi di Londra ottiene i medesimi risultati. Ad agosto partecipa al torneo di Montreal, perdendo subito al primo turno sia in doppio che in singolare. A Cincinnati si ferma al secondo turno, mentre a New Haven perde subito al primo turno. Agli US Open si ferma al primo turno in entrambi i tabelloni. Chiude l'anno con un primo turno in doppio ai tornei di Guangzhou e Pechino.
Debutta ad inizio anno al torneo di Shenzhen, dove perde però subito al primo turno. Al successivo torneo di Hobart, perde in finale, nel doppio, con Mandy Minella, mentre nello slam australiano si ferma al primo turno sia in singolare che in doppio. Dopo aver partecipato alla Fed Cup, vince in doppio con Mandy Minella il torneo di Bogotà e raggiunge sempre in doppio la semifinale al torneo di Florianopolis; in singolare si ferma ai quarti. Il mese di aprile inizia con la vittoria al torneo di Monterrey, in doppio con Kimiko Date-Krumm, mentre in singolare perde ai quarti. Al torneo di Marrakech poi vince il titolo in doppio con Mandy Minella. In seguito partecipa al torneo ITF di Johannesburg e vince il titolo battendo in finale Chanel Simmonds. Al Roland Garros partecipa solo in doppio, dove perde subito al primo turno con Mandy Minella, mentre a Wimbledon perde al primo turno in entrambi i tabelloni. A luglio raggiunge i quarti al torneo di Budapest e poi perde la finale del torneo ITF di Donetsk. Al successivo torneo WTA 125k di Suzhou si ferma in semifinale in singolare, mentre vince il titolo in doppio con Michaella Krajicek. Agli US Open perde al primo turno in singolare, mentre si ferma al secondo turno in doppio con Francesca Schiavone. In seguito ottiene un altro titolo in doppio, al torneo di Tashkent con Yaroslava Shvedova e si ferma ai quarti, in doppio, al torneo di Guangzhou. A metà ottobre raggiunge la semifinale al torneo ITF di Saguenay e chiude l'anno con la sconfitta in finale al torneo ITF di Toronto.
L'anno inizia con il torneo di Shenzhen, dove si ferma al primo turno in singolare e ai quarti in doppio. In seguito nel doppio vince la finale di Sydney in coppia con Lucie Šafářová battendo in finale la favorita coppia italiana Sara Errani e Roberta Vinci. Agli Australian Open si ferma al primo turno in singolare, mentre in doppio raggiunge il terzo turno con Petra Martic. A Parigi perde invece una finale ancora nel doppio in coppia con Kristina Mladenovic battute dal duo Anna-Lena Grönefeld e Květa Peschke. Ad inizio aprile raggiunge un'altra finale in doppio con Olga Govortsova al torneo di Monterrey; mentre al successivo torneo di Kuala Lumpur, in coppia con Chan Hao-Ching, vince il torneo nel doppio. In singolare partecipa ancora ai tornei ITF, e ad inizio maggio vince il titolo al torneo di Gifu e poi raggiunge la semifinale al torneo ITF di Praga. Al Roland Garros partecipa solo in doppio con Varvara Lepchenko ma perdono subito al primo turno. A Wimbledon, in singolare, perde subito al primo turno, mentre in doppio, in coppia con Kristina Mladenovic, viene sconfitta soltanto in finale dalla coppia italiana Sara Errani e Roberta Vinci per 6-1 6-3, al termine di un sorprendente torneo. Sempre in coppia con Kristina Mladenovic perde la finale del torneo di Cincinnati. Nell'ultimo slam stagionale si ferma al primo turno, sia in singolare che in doppio. Al successivo torneo di Quebec City, raggiunge la semifinale in doppio. A metà ottobre vince il suo ultimo titolo ITF fino ad ora in singolare al torneo di Poitiers. Chiude l'anno, ad inizio novembre, quando perde la finale del torneo WTA 125s di Limoges con Kristina Mladenovic.
L'anno parte con un secondo turno al torneo di Shenzhen. Al torneo di Sydney si ferma ai quarti in singolare, mentre in doppio perde in semifinale. Nello slam australiano perde al primo turno in singolare, mentre in doppio si ferma al secondo turno con Kristina Mladenovic. Dopo la Fed Cup, partecipa al torneo di Dubai dove vince il titolo WTA in doppio, mentre a Miami raggiunge la semifinale sempre in doppio. Ad inizio maggio raggiunge la finale nel torneo di Marrakech, eliminando nell'ordine: Mona Barthel (6-4 6-0), Teliana Pereira (6-0 6(5)–7 6-4), Flavia Pennetta (6-2 5-7 7-5), Kristina Mladenovic (6-4 6-4). In finale viene battuta dall'ucraina Elina Svitolina, in 2 set tirati. Nel doppio invece vince il titolo con Kristina Mladenovic. Nel torneo di Roma vince il titolo in doppio, mentre al Roland Garros si ferma al primo turno in singolare e al secondo turno in doppio. A s'Hertogenbosch raggiunge la semifinale in doppio. Nello slam inglese ottiene un secondo turno in singolare, mentre in doppio raggiunge la semifinale sempre con Kristina Mladenovic. Nel doppio misto centra una finale in coppia con Alexander Peya, perdendo però contro Leander Paes e Martina Hingis. Agli US Open in singolare perde subito, mentre in doppio raggiunge il terzo turno in coppia con Kristina Mladenovic. Al torneo di Tianjin raggiunge i quarti in singolare. In doppio si qualifica alle WTA Finals con Kristina Mladenovic, ma non superano il round robin. Chiude l'anno vincendo il torneo WTA 125s di Taipei in singolare.
L'anno inizia con la semifinale raggiunta al torneo di Shenzhen, dove perde contro Alison Riske per 2-6 4-6. Agli Australian Open si ferma al secondo turno sia in singolare che in doppio con Katarina Srebotnik. A metà febbraio raggiunge la semifinale in doppio al torneo di Dubai con Julia Georges. Ad Indian Wells raggiunge la semifinale in doppio con Yaroslava Shvedova e al torneo di Miami raggiunge la finale di doppio con Jaroslava Švedova, ma vengono sconfitte dalla coppia Bethanie Mattek-Sands/Lucie Šafářová per 3-6 4-6. Verso la fine di aprile si ferma in semifinale al torneo di Rabat, perdendo contro Timea Bacsinszky per 4-6 5-7. Al Roland Garros raggiunge il secondo turno in singolare, mentre in doppio si ferma al secondo turno con Yaroslava Shvedova. Sull'erba ottiene la semifinale in doppio al torneo di Eastbourne e poi al torneo di Wimbledon si ferma al secondo turno in singolare, mentre in doppio raggiunge la finale con Yaroslava Shvedova dove vengono sconfitte dalle Sorelle Williams per 3-6 4-6. Nel torneo brasiliano di Florianopolis raggiunge la finale sia in singolare che in doppio perdendo in entrambi i casi. In singolare viene sconfitta da Irina-Camelia Begu per 6-2 4-6 3-6; mentre in doppio, in coppia con la connazionale Réka Luca Jani, viene estromessa dalle sorelle Nadežda Kičenok/Ljudmyla Kičenok per 3-6 1-6. Rappresenta il suo Paese alle Olimpiadi di Rio, dove esce al primo turno per mano di Petra Kvitová (1-6 2-6); mentre in doppio, in coppia con Réka Luca Jani, viene sconfitta da Raluca Olaru/Andreea Mitu per 3-6 4-6. Dopo aver raggiunto la semifinale in doppio al torneo di New Haven, nell'ultimo slam, gli US Open, perde nel terzo turno in singolare e anche in doppio si ferma al terzo turno con Yaroslava Shvedova. Nel doppio misto, con Eric Butorac, perde al secondo turno. A novembre chiude l'anno partecipando al WTA Elite Trophy in singolare, dove perde tutte e due le partite del girone; in doppio invece si qualifica alle WTA Finals ma perde subito nei quarti.
2017: vittoria alle WTA Finals, 6 tornei e Top 10 in doppio; 3º torneo in singolare
Anche quest'anno parte con il torneo di Shenzhen, dove perde subito al primo turno. A Sydney torna a vincere in doppio con Anastasia Pavlyuchenkova battendo in finale Sania Mirza/Barbora Strýcová con un doppio 6-4. Nel primo slam si ferma al primo turno in singolare e al terzo turno in doppio con Anastasia Pavlyuchenkova. A metà febbraio, al torneo di Budapest, si ferma in semifinale in doppio, mentre in singolare vince il titolo superando Lucie Šafářová per 6(4)-7 6-4 6-3. A metà aprile ottiene un'altra semifinale in doppio al torneo di Istanbul e poi al torneo di Rabat vince il titolo in doppio con Andrea Hlaváčková superando la coppia Nina Stojanović/Maryna Zanevs'ka per 10-5 nel super tie-break. A Madrid invece raggiunge la finale in doppio con Andrea Hlaváčková, ma perde contro la coppia Chan Yung-Jan e Martina Hingis. Sulla terra rosa continua con il torneo di Roma, dove perde in semifinale nel doppio, mentre al Roland Garros perde al primo turno in singolare e al secondo turno in doppio. A metà giugno raggiunge la semifinale in doppio anche al torneo di Eastbourne; al torneo di Wimbledon perde al primo turno in singolare mentre raggiunge il terzo turno in doppio con Andrea Hlaváčková. Nel doppio misto perde ai quarti con Bruno Soares. Ad inizio settembre al torneo di Quebec City perde in finale in singolare da Alison Van Uytvanck (7-5 4-6 1-6), mentre in doppio vince il titolo con Andrea Hlaváčková, superando il duo canadese Bianca Andreescu/Carson Branstine nettamente per 6-3 6-1. Al successivo torneo di Tashkent replica, perdendo in finale in singolare da Kateryna Bondarenko (4-6 4-6) e vincendo il titolo in doppio, sempre con la ceca, estromettendo la coppia Nao Hibino/Oksana Kalašnikova per 7-5 6-4. In seguito raggiunge la finale in doppio al torneo di Pechino con Andrea Hlaváčková venendo eliminate dalla coppia Chan Yung Jan/Martina Hingis per 1-6 4-6, e vince il titolo in doppio al torneo di Mosca, eliminando il duo Nicole Melichar/Anna Smith per 10-3 nel super tie-break. Il ranking raggiunto (7ª posizione) le permette di disputare l'ultimo torneo dell'anno, le WTA Finals. In coppia con la ceca estromette in finale il duo Kiki Bertens/Johanna Larsson per 4-6 6-4 [10-5].
2018: vittoria agli Australian Open, n° 1 del mondo e 18º torneo in doppio; 4º torneo in singolare
Il nuovo anno comincia con il torneo di Shenzhen, dove si ferma ai quarti in singolare. In seguito agli Australian Open si ferma al secondo turno in singolare, mentre in doppio vince il suo primo torneo Slam, in coppia con Kristina Mladenovic battendo in finale Ekaterina Makarova/Elena Vesnina per 6-4 6-3. Prova a ripetere il successo anche nel doppio misto in coppia con Rohan Bopanna, ma vengono eliminati per 6-2 4-6 [9-11] dalla coppia Mate Pavić/Gabriela Dabrowski. Ad inizio febbraio vince il suo quarto titolo in singolare, al torneo di Taiwan, superando in finale Kateryna Kozlova per 7-5 6-1; in doppio invece si ferma in semifinale. Medesimo risultato lo ottiene al torneo di Indian Wells in coppia con Kristina Mladenovic. Il mese di aprile inizia con la sconfitta in finale al torneo di Monterrey per mano di Garbiñe Muguruza per 6-3 4-6 3-6. Al torneo di Madrid, in doppio, ripete il risultato dell'anno precedente: viene sconfitta in finale, stavolta dalle russe Ekaterina Makarova/Elena Vesnina, per 8-10 nel super tie-break. Nel secondo slam stagionale, a Parigi, si ferma subito nel singolare, mentre raggiunge i quarti in doppio con Kristina Mladenovic. Nel doppio misto perde subito al primo turno in coppia con Rohan Bopanna. La stagione sull'erba inizia benissimo con la vittoria, sempre in coppia con la Mladenović, al torneo di Birmingham superando in finale il duo Elise Mertens/Demi Schuurs con il risultato di 4-6 6-3 [10-8]. A Wimbledon non supera il primo turno in singolare, mentre in coppia con Kristina Mladenovic si ferma nei quarti nel doppio. Dopo questo torneo, il 16 luglio raggiunge la 1ª posizione in classifica nel doppio. Agli US Open, dopo un primo turno in singolare, perde la finale in doppio con Kristina Mladenovic. In singolare chiude l'anno con il primo turno al torneo di Lussemburgo; in doppio invece partecipa alle WTA Finals e vince anche quest'anno il titolo con Kristina Mladenovic.
L'anno inizia con il torneo di Auckland, dove si ferma al primo turno in singolare e nei quarti in doppio. Agli Australian Open raggiunge il secondo turno in singolare, mentre in doppio perde la finale con Kristina Mladenovic. Nel doppio misto si ferma al secondo turno con Marton Fucsovics. Alla fine di aprile si aggiudica il ventunesimo titolo WTA in doppio al torneo di Istanbul. In singolare ritorna nel circuito ITF e raggiunge la semifinale del torneo di Cagnes-Sur-Mer. Al Roland Garros perde subito in singolare, mentre in doppio vince il titolo, sempre con Kristina Mladenovic. Nel doppio misto, in coppia con Marton Fucsovics, si ferma al secondo turno. A metà giugno perde in finale il torneo ITF di Ilkley in singolare. A Wimbledon partecipa solo in doppio e raggiunge la semifinale con Kristina Mladenovic. A metà agosto si ferma in semifinale al torneo ITF di Vancouver; agli US Open si ferma al secondo turno in singolare, mentre in doppio perde nei quarti in coppia con Kristina Mladenovic. In chiusura d'anno raggiunge la semifinale in doppio, al torneo di Mosca. In doppio partecipa alle WTA Finals e vince per il terzo anno consecutivo. Chiude l'anno con la sconfitta in finale al torneo WTA 125s di Taipei.
2020: vittoria all'Australian Open e a Parigi in doppio
Babos comincia l'anno a Shenzhen, dove non passa le qualificazioni. Ha maggiore fortuna in quel di Adelaide, dove viene ripescata come lucky loser dopo non aver vinto contro Golubic il turno decisivo delle quali. Al primo turno perde subito da Dajana Yastremska per 5-7 3-6. All'Australian Open viene subito eliminata da Swiatek in singolare, mentre in doppio vince il titolo assieme a Kiki Mladenovic, senza perdere un set. A San Pietroburgo non supera le qualificazioni, mentre a Doha ha la fortuna di essere ripescata come lucky loser, fuorché venir subito estromessa da Putinceva. A Lione perde subito da Irina-Camelia Begu in tre set.
Dopo la lunga pausa forzata dipesa dalla pandemia di COVID-19, è ritornata in campo allo US Open: nella circostanza non ha fortuna né in singolare (eliminata da Keys con un doppio 6-1) né in doppio (con Mladenovic non ha modo di giocare il secondo turno[2]). Nella stagione su terra, va male a Roma (2º turno di quali in singolare e 1º turno in doppio con la Zhang), mentre a Parigi raggiunge la seconda finale slam dell'anno in doppio, sempre assieme a Mladenovic. Nella circostanza, la coppia franco-ungherese ottiene la vittoria su Guarachi/Krawczyk per 6-4 7-5. Per la Babos si tratta del 4º titolo slam in doppio e del 25º titolo in doppio conseguito in carriera.
1 Babos insieme alla compagna Kristina Mladenovic vengono costrette a ritirarsi a causa della positività al COVID-19 di un contatto della francese; non viene considerata come una sconfitta.
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Monterrey Open, Monterrey
Alexandra Cadanțu
Lucie Šafářová
Taiwan Open, Taipei
Kateryna Kozlova
Grand Prix SAR La Princesse Lalla Meryem, Marrakesh
Brasil Tennis Cup, Florianópolis
Coupe Banque Nationale, Québec
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Alison Van Uytvanck
Tashkent Open, Tashkent
Garbiñe Muguruza
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Torneo di Wimbledon, Londra
Alexander Peya
Leander Paes 
Martina Hingis
Australian Open, Melbourne
Mate Pavić 
Misaki Doi
Vitalija D'jačenko
Suzhou Ladies Open, Suzhou
Michaëlla Krajicek
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Open GDF Suez de Limoges, Limoges
Angela Kulikov
Creand Andorrà Open, Andorra la Vella
Ėrika Andreeva 
Megasaray Hotels Open, Adalia
Angelica Moratelli 
Svenja Weidemann
Wiphold International, Pretoria
Noppawan Lertcheewakarn
Jana Čepelová 
Giochi Olimpici
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